László horvát családba született, eredeti neve Zsigrovits volt, erről magyarosított Csákányira. Középiskoláját Szentgotthárdon végezte a Vörösmarty Gimnáziumban, majd ezután lett a Színművészeti Akadémia hallgatója. Itt 1942-ben diplomázott.

Első munkahelye a Nemzeti Színház volt, de 1945-ben hadifogságba esett, ahol három éven keresztül raboskodott. Ezután a Pesti, az Úttörő és az Ifjúsági Színház társulatához szegődött, majd 1953-tól a Fővárosi Operettszínház, 1956-tól pedig a Petőfi, illetve a Jókai Színházban dolgozott. 1963–1971 között a Vígszínház, 1971–74 között a József Attila Színház, 1974-től pedig haláláig a Vidám Színpad művésze volt.

Csákányi sokoldalú színész volt, tragédiákban, vígjátékokban és operettekben is szerepelt. A közvélemény azonban elsősorban komikusként tartja számon. Tehetségét több filmben is kamatoztatta, leghíresebb főszerepét az Indul a bakterház című filmben vállalta. Utolsó filmszerepe Koltai Róbert Sose halunk meg című alkotásában volt.

Népszerű szinkronszínész is volt (például Foxi Maxi, a Frédi és Béni, avagy a két kőkorszaki szaki Frédije, a Disney Dzsungel könyvének Baluja, Karak a Vukban, Döbrögi a Lúdas Matyiban, Loncsár a Szaffiban stb.).

Emlékezetes rádiójátékbeli szerepe Viktor Szíriusz hangja László Endre 13 éven keresztül futó Szíriusz kapitány című sorozatában.

A mestert 1992. november 3-án vesztettük el, a rák végleg győzött felette.